Cardicas > Quadrado Mágico
Matematicamente, um Quadrado Mágico Elementar é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) de ordem n (n linhas e n colunas) cujos elementos (números naturais) variam sucessivamente de `1` até `n^2` que são arrumados de modo que a soma de cada linha, cada umas das duas diagonais principais ou de cada coluna seja sempre uma constante.
Podem-se construir Quadrados Mágicos não elementares iniciando-se a partir de outro número natural que não o `1`. Por exemplo, iniciar-se a partir do `12`.
Para resolver problemas de Quadrados Mágicos não elementares basta construir um Quadrado Mágico elementar - depois disso somar elemento por elemento a diferença entre o menor valor do Quadrado Mágico pretendido com `1`.
Um exemplo de Quadrado Mágico Elementar `4 times 4` é:
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34
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16
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3
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2
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13
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= 34
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5
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10
|
11
|
8
|
= 34
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9
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6
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7
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12
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= 34
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4
|
15
|
14
|
1
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= 34
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34 |
||
34 |
||
34 |
|| |
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. diagonal principal
. diagonal secundária
Digamos que alguém queira construir um Quadrado Mágico `4 times 4` dispondo elementos de 12 até 28. Para isto basta usar o Quadrado Mágico Elementar `4 times 4` acima e adicionar 11 (a diferença entre 12 e 1) a todos os seus elementos já disponíveis.
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82
// |
|||||
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16+12
|
3+12
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2+12
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13+12
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= 82
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5+12
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10+12
|
11+12
|
8+12
|
= 82
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9+12
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6+12
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7+12
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12+12
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= 82
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4+12
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15+12
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14+12
|
1+12
|
= 82
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82 |
||
82 |
||
82 |
|| |
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Cardicas:
Em todo Quadrado Mágico Elementar do tipo `n times n` o resultado constante das somas de cada linha, cada coluna ou de cada diagonal é sempre `1/2*n*(n^2+ 1)`.
Se todos os elementos de um Quadrado Mágico Elementar forem acrescidos cada um de um mesmo número natural qualquer, será formado outro Quadrado Mágico.
Outros exemplos:
3 x 3
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6
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1
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8
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7
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5
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3
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2
|
9
|
4
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5 x 5
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15
|
8
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1
|
24
|
17
|
|
16
|
14
|
7
|
5
|
23
|
|
22
|
20
|
13
|
6
|
4
|
|
3
|
21
|
19
|
12
|
10
|
|
9
|
2
|
25
|
18
|
11
|
6 x 6
|
6
|
32
|
3
|
34
|
35
|
1
|
|
7
|
11
|
27
|
28
|
8
|
30
|
|
19
|
14
|
16
|
15
|
23
|
24
|
|
18
|
20
|
22
|
21
|
17
|
13
|
|
25
|
29
|
10
|
9
|
26
|
12
|
|
36
|
5
|
33
|
4
|
2
|
31
|
7 x 7
|
22
|
47
|
16
|
41
|
10
|
35
|
4
|
|
5
|
23
|
48
|
17
|
42
|
11
|
29
|
|
30
|
6
|
24
|
49
|
18
|
36
|
12
|
|
13
|
31
|
7
|
25
|
43
|
19
|
37
|
|
38
|
14
|
32
|
1
|
26
|
44
|
20
|
|
21
|
39
|
8
|
33
|
2
|
27
|
45
|
|
46
|
15
|
40
|
9
|
34
|
3
|
28
|
8 x 8
|
8
|
58
|
59
|
5
|
4
|
62
|
63
|
1
|
|
49
|
15
|
14
|
52
|
53
|
11
|
10
|
56
|
|
41
|
23
|
22
|
44
|
45
|
19
|
18
|
48
|
|
32
|
34
|
35
|
29
|
28
|
38
|
39
|
25
|
|
40
|
26
|
27
|
37
|
36
|
30
|
31
|
33
|
|
17
|
47
|
46
|
20
|
21
|
43
|
42
|
24
|
|
9
|
55
|
54
|
12
|
13
|
51
|
50
|
16
|
|
64
|
2
|
3
|
61
|
60
|
6
|
7
|
5
|
9 x 9
|
37
|
78
|
29
|
70
|
21
|
62
|
13
|
54
|
5
|
|
6
|
38
|
79
|
30
|
71
|
22
|
63
|
14
|
46
|
|
47
|
7
|
39
|
80
|
31
|
72
|
23
|
55
|
15
|
|
16
|
48
|
8
|
40
|
81
|
32
|
64
|
24
|
56
|
|
57
|
17
|
49
|
9
|
41
|
73
|
33
|
65
|
25
|
|
26
|
58
|
18
|
50
|
1
|
42
|
74
|
34
|
66
|
|
67
|
27
|
59
|
10
|
51
|
2
|
43
|
75
|
35
|
|
36
|
68
|
19
|
60
|
11
|
52
|
3
|
44
|
76
|
|
77
|
28
|
69
|
20
|
61
|
12
|
53
|
4
|
45
|